Rudolf Otto Sigismund Lipschitz wurde am 14. Mai 1832 in Königsberg (Preußen) geboren und evangelisch getauft.
1840 bis 1844 erhielt er auf dem elterlichen Rittergut Boenkeim Privatunterricht, danach kam er auf das Altstädtische Gymnasium in Königsberg, das er 15jährig mit dem Abitur abschloss.
Anschließend begann er an der Albertus-Universität in Königsberg ein Mathematikstudium und wechselte 1850 nach Berlin zur Friedrich-Wilhelms-Universität. Krankheitsbedingt musste er fast ein Jahr mit dem Studium aussetzen, promovierte dann 1853 mit "Determinatio status magnetici viribus inducentibuscommoti in ellipsoide" bei Gustav Dirichlet.
Anschließend arbeitete Lipschitz drei Jahre lang als Gymnasiallehrer, zuerst am Königlichen Friedrichs-Collegium in Königsberg und danach am Königlichen Gymnasium in Elbing. Aber schon 1856 schrieb er an den Bonner Professor Hermann Helmholtz, den er 1850 bei Dirichlet in Berlin kennengelernt hatte, dass er wieder an eine Universitätslaufbahn denke und erkundigte sich nach den Bonner Verhältnissen in Bezug auf die Mathematik.
1857 habilitierte er sich an der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn ("Über die Criterien der Möglichkeit einer gewissen Gattung von unbestimmten Gleichungen"), im selben Jahr heiratete er seine Jugendfreundin Ida Pascha (1832-1922), das Ehepaar hatte drei Töchter und einen Sohn.
Lipschitz blieb mit seiner Familie in Bonn und lehrte als Privatdozent, nahm dann jedoch 1862 einen Ruf als Extra-Ordinarius der Königlichen Universität zu Breslau an. Zwei Jahre später kehrte er in der Nachfolge des plötzlich verstorbenen August Beer als Ordinarius für Mathematik an die Universität Bonn zurück.
In den folgenden Jahren setzte er sich neben seiner Lehrtätigkeit für die Gründung eines Mathematischen Seminars ein - gegen den Widerstand des älteren Kollegen Julius Plücker, mit dem er sich nicht gut verstand. Dieser war enttäuscht, dass nicht der von ihm favorisierte Alfred Clebsch als zweiter Ordinarius an seine Seite berufen worden war.
Am 13.11.1866 wurde das Mathematische Seminar eröffnet und erwies sich als eine grundlegende Verbesserung des Unterrichtes. Lipschitz war außerdem Ordentliches Mitglied der Königlichen wissenschaftlichen Prüfungskommission, die für die Prüfungen der Gymnasiallehrer zuständig war.
Im Wintersemester 1871/72 wurde Lipschitz Dekan der Philosophischen Fakultät, im Wintersemester 1874/75 dann Rektor, in seiner Antrittsrede sprach er über "Wissenschaft und Staat".
1877 und 1880 erschien sein wichtigstes Werk, das "Lehrbuch der Analysis" in zwei Bänden (Grundlagen der Analysis und Differential- und Integralrechnung), danach arbeitete er über die Theorie der Zahlen.
Im Verlauf der weiteren Jahre folgten Ehrungen und Mitgliedschaften in gelehrten Gesellschaften. Am 7. Oktober 1903 starb Rudolf Lipschitz nach langer Krankheit.
In seinem Nachlass, den die Bibliothek im März 1995 vom Mathematischen Institut erhielt, befinden sich neben umfangreichen Korrespondenzen Lebensdokumente und zahlreiche Manuskripte (Aufsätze, Vorlesungen), Medaillen und Orden sowie Urkunden anlässlich seines 50jährigen Promotions-Jubiläum im August 1903.
Der Nachlass ist vollständig im Verbundkatalog Kalliope verzeichnet, die Korrespondenzen sind überwiegend in den Digitalen Sammlungen online zugänglich.